МИНИСТЕРСТВО ПРОСВЕЩЕНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Министерство образования и молодежной политики Свердловской области
Департамент образования Администрации города Екатеринбурга
МАОУ гимназия № 35
УТВЕРЖДЕНО
Директор
________________________
Никандрова Е.А.
Приказ 82-од от «31» августа 2023 г.
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА
курса внеурочной деятельности
«Математический театр»
5-6 класс
Екатеринбург, 2023
Рабочая программа внеурочной деятельности «Математический театр» для 56 классов общеобразовательных организаций разработана на основе ФГОС
основного общего образования, Концепции духовно-нравственного развития
и воспитания личности гражданина России, Рабочей концепции одаренности,
дидактической системы «Учусь учиться» (Л. Г. Петерсон).
Программа направлена на выращивание математических способностей
и одаренности детей, их общеинтеллектуальное и личностное развитие,
повышение качества подготовки к математическим олимпиадам и качества
математического образования в целом.
Планируемые результаты 5 класс.
I. АРИФМЕТИКА
1. Суммы
• вычислять суммы чисел, идущих через равные промежутки, с помощью
разбиения на пары;
• применять формулу суммы всех натуральных чисел от 1 до n;
• использовать подсчет суммы чисел в задачах о разбиении на пары групп
чисел с равной суммой.
2. Числа и их свойства
• конструировать примеры с дробями;
• применять арифметические свойства дробей, правила сокращения дробей в
задачах-конструктивах;
• решать задачи о равномерном распределении частей между несколькими
людьми.
3. Закономерности
• проводить предварительный анализ в задачах-конструктивах;
• использовать разбиение на подзадачи при построении геометрических и
числовых конструкций.
4. Время и движение
• строить и применять нестандартные схемы (чертежи) к задачам на
движение;
• изображать скорости движения в частях (единичных отрезках);
• использовать более крупные единицы времени, НОД и НОК для
уравнивания расстояний.
II. ГЕОМЕТРИЯ
1. Геометрическое мышление
• изображать развертки простых пространственных фигур (куб,
параллелепипед, пирамида);
• подбирать подходящие разные развертки куба и прямоугольного
параллелепипеда для решения задач;
• изображать три вида объемной фигуры;
• восстанавливать возможную форму пространственной фигуры по ее трем
видам.
2. Площади
• применять метод перебора в геометрических задачах, соображения
симметрии для его упрощения;
• использовать фигуры пентамино при решении задач на разрезание;
• вводить вспомогательную сетку (с укрупненными или уменьшенными
клетками, наклонную сетку) для вычисления площадей фигур на клетчатой
бумаге;
• применять параллельный перенос на клетчатой бумаге для упрощения
вычисления площадей фигур;
• проводить предварительный анализ в задачах о перекраивании фигур;
• находить возможные способы разрезания и составления фигур в задачах о
перекраивании фигур с помощью метода «проб и ошибок», принципа «узких
мест».
3. Геометрические неравенства
• рассматривать все неэквивалентные варианты взаимного расположения
нескольких точек на прямой;
• вычислять координату середины отрезка на числовой прямой;
• находить расстояние между серединами отрезков на числовой прямой по
координатам вершин этих отрезков.
III. АЛГЕБРА
1. От чисел к буквам
• вводить удобную переменную в нестандартных текстовых задачах;
• составлять и решать уравнение с одной переменной.
2. Функциональные зависимости
• устанавливать взаимно однозначное соответствие между элементами двух
множеств;
• использовать взаимно однозначное соответствие (разбиение на пары) для
сравнения количества элементов в двух множествах;
• применять метод разбиения на пары при решении комбинаторных задач.
3. Неравенства и оценки
• доказывать оценки значения величины «сверху» и «снизу»;
• использовать оценки «сверху» и «снизу» для ограничения перебора
числовых значений величины;
• применять двусторонние оценки для доказательства единственности
возможного значения неизвестной.
IV. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
1. Делимость
• применять свойства делимости, признаки делимости на 2, 4, 8, 5, 25, 10, 3, 9
при решении нестандартных задач;
• доказывать обобщения признаков делимости (признаки делимости на
степени двойки, степени пятерки);
• использовать разложение натурального числа на простые множители в
задачах-конструктивах и задачах на доказательство;
• фиксировать и применять инвариантность свойства делимости некоторой
величины в процессах.
2. Остатки
• определять остаток от деления числа на 2, 4, 8, 5, 10, 3, 9 с помощью
соответствующего признака делимости;
• использовать свойство делимости на n разности числа и его остатка от
деления на n при решении задач.
V. ЛОГИКА
1. Математическая логика
• находить с помощью метода перебора все варианты ответа в логических
задачах;
• анализировать высказывания о существовании и всеобщности, использовать
их отрицания при решении логических задач;
• строить отрицания высказываний со связками «больше», «меньше»,
«больше или равно», «меньше или равно».
2. Принципы решения задач
• применять метод «анализ с конца» (метод обратного хода) при решении
текстовых и логических задач;
• использовать табличную форму записи решения текстовой задачи с
помощью «анализа с конца»;
• использовать идею доказательства «от противного» при решении задач о
наибольшем или наименьшем возможном значении величины (задачи с
вопросом «сколько нужно взять»).
3. Алгоритмы и конструкции
• составлять алгоритмы угадывания с помощью вопросов, на которые можно
отвечать только «да» и «нет»;
• использовать табличную форму записи шагов алгоритма угадывания.
4. Игры и стратегии
• строить и обосновывать симметричную стратегию, симметричную
стратегию «с центром» в математических играх для двух игроков;
• приводить примеры неверного использования симметричной стратегии;
• конструировать выигрышную стратегию на основе анализа выигрышных и
проигрышных позиций в игре.
VI. КОМБИНАТОРИКА И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
1. Комбинаторика
• применять правила суммы (правило «ИЛИ») и произведения (правило «И»)
в комбинаторных задачах;
• решать задачи, требующие комбинации этих двух правил.
2. Теория множеств
• применять метод дополнения, теоретико-множественные модели для
решения задач о подсчетах;
• вычислять количество натуральных чисел в диапазоне, делящихся или не
делящихся на некоторое n.
VII. КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. Раскраски и разбиения
• использовать шахматную раскраску доски, других объектов для проведения
оценок и доказательств;
• использовать шахматную раскраску для конструирования примеров.
2. Теория графов
• строить более сложные интерпретации задач в терминах теории графов
(графы шахматных фигур);
• вычислять количество ребер в полном графе, графе шахматной фигуры;
• представлять турнир в виде графа;
• изображать двудольный граф.
3. Комбинаторная геометрия
• строить регулярные покрытия плоскости равными фигурами (паркеты);
• использовать для замощения правильные многоугольники, выпуклые и
невыпуклые фигуры.
Обучающийся получит возможность научиться при решении олимпиадных
задач самостоятельно:
• анализировать текст задачи, внетекстовую информацию;
• анализировать вопрос (требование) задачи;
• находить взаимосвязи между условиями задачи и использовать их для
построения модели и хода решения;
• строить модели на основе уже известных (числовой луч, схема, таблица,
диаграмма Эйлера — Венна, граф, дерево вариантов);
• составлять алгоритм решения задачи;
• находить «узкие места» задачи и использовать их при конструировании
примеров;
• применять метод перебора;
• строить логические рассуждения в устной и письменной форме;
• описывать устно «путь к решению», то есть логическое рассуждение,
которое позволило прийти к решению (конструкции, доказательству);
• преодолевать кажущиеся противоречия, связанные с недостаточным
анализом условия задачи;
• проверять ответ (пример) на соответствие всем условиям задачи;
• проверять ход доказательства на отсутствие противоречий и
необоснованных выводов;
• делать краткую (схематичную) запись решения задачи, логического
рассуждения;
• формулировать в письменном виде полный текст логического рассуждения.
Планируемые результаты 6 класс.
I. АРИФМЕТИКА
1. Суммы
• определять неизвестную, значение которой можно выразить двумя
способами, и вычислять ее значения (применять метод подсчета двумя
способами);
• использовать метод подсчета двумя способами в доказательствах «от
противного», при решении задач с арифметическими таблицами,
геометрических задач;
• составлять уравнения на основе подсчета неизвестной двумя способами;
• доказывать и применять при решении задач свойства среднего
арифметического набора чисел (изменение при увеличении всех чисел
набора на некоторое число и в некоторое число раз; оценка среднего
арифметического сверху и снизу наибольшим и наименьшим числами
набора; неизменность среднего арифметического при добавлении числа,
равного среднему арифметическому чисел набора).
2. Числа и их свойства
• строить конструкции с отрицательными числами;
• использовать отрицательные числа в задачах с числовыми оценками.
3. Закономерности
• конструировать сложные арифметические, геометрические примеры с
помощью метода последовательного конструирования;
• доказывать возможность существования конструкции методом
последовательного конструирования;
• определять необходимое количество базовых конструкций в задачах с
последовательным конструированием.
4. Время и движение
• составлять схемы к задачам про движение по кругу, в том числе схем с
единичными дугами;
• решать задачи о количестве пересечений стрелок часов, их взаимном
расположении;
• вычислять градусные меры дуг между часовой, минутной, секундной
стрелками.
II. ГЕОМЕТРИЯ
1. Геометрическое мышление
• изображать пространственные фигуры по набору свойств (количество
вершин, ребер, граней);
• строить развертки более сложных многогранников, восстанавливать вид
пространственной фигуры по ее развертке;
• решать задачи об оклеивании объемных фигур, построении путей на
поверхности таких фигур.
2. Площади
• строить разрезания неклетчатых фигур на равные части;
• использовать вспомогательную сетку для разрезания неклетчатых фигур.
3. Геометрические неравенства
• применять неравенство треугольника при решении простых геометрических
и текстовых задач;
• доказывать неравенство треугольника с помощью построений циркулем и
линейкой.
III. АЛГЕБРА
1. От чисел к буквам
• применять запись числа в виде суммы разрядных слагаемых (a + 10b + 100c
+ …) для сведения задачи к уравнению в цифрах;
• решать уравнения в цифрах с помощью метода перебора и использования
свойств делимости.
2. Функциональные зависимости
• использовать пропорции и их свойства при решении нестандартных
текстовых задач.
3. Неравенства и оценки
• подбирать промежуточное число (посредника) для доказательства числовых
неравенств, сравнения чисел;
• использовать метод введения переменной для доказательства числовых
неравенств, сравнения чисел.
IV. ТЕОРИЯ ЧИСЕЛ
1. Делимость
• доказывать и применять в задачах признаки делимости, связанные с
десятичной записью числа (на 7, 11, 13 и др.);
• решать задачи на оценку и пример, связанные с делимостью (на нахождение
наименьшего числа с указанными свойствами делимости, наименьшей
возможной суммой цифр).
2. Остатки
• записывать в общем виде целое число с определенным остатком от деления
на n;
• использовать арифметические свойства остатков при решении задач;
• применять свойство зацикливания остатков при возведении числа в степень,
определять остаток данной степени числа.
V. ЛОГИКА
1. Математическая логика
• применять метод «от противного»;
• строить отрицания высказываний с логическими связками «и», «или»,
сложных высказываний, применять эти отрицания в доказательствах «от
противного»;
• решать логические задачи на оценку и пример;
• решать задачи о расположении объектов по кругу.
2. Принципы решения задач
• применять принцип Дирихле (избыток, недостаток) для решения задач;
• использовать доказательство «от противного» для решения задач,
требующих обобщения принципа Дирихле;
• решать геометрические задачи с помощью принципа
Дирихле.
3. Алгоритмы и конструкции
• составлять алгоритмы взвешиваний;
• использовать представление результатов взвешиваний с помощью дерева
вариантов;
• доказывать невозможность построения алгоритма взвешиваний при
недостаточном количестве доступных взвешиваний.
4. Игры и стратегии
• строить стратегии в играх «на опережение»;
• доказывать, что один из игроков может обеспечить себе ничью.
VI. КОМБИНАТОРИКА И ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ
1. Комбинаторика
• вычислять количество анаграмм данного слова с различными и
повторяющимися буквами;
• выводить формулы для числа перестановок с помощью правила
произведения.
2. Теория множеств
• использовать метод введения переменной в задачах про множества.
VII. КОМБИНАТОРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ
1. Раскраски и разбиения
• использовать различные виду раскрасок досок для доказательства
невозможности разрезания доски на определенные части.
2. Теория графов
• формулировать условие задачи в терминах теории графов;
• применять лемму о рукопожатиях для подсчета количества ребер в графе;
• использовать свойство четности количества вершин нечетной степени в
графе в доказательствах;
• доказывать лемму о хороводах.
3. Комбинаторная геометрия
• применять невыпуклые фигуры при конструировании;
• определять все возможные значения количества сторон при пересечении
многоугольников.
Обучающийся получит возможность научиться при решении олимпиадных
задач самостоятельно:
• анализировать текст задачи, внетекстовую информацию;
• анализировать вопрос (требование) задачи;
• находить взаимосвязи между условиями задачи и использовать их для
построения модели и хода решения;
• строить модели на основе уже известных (числовой луч, схема, таблица,
диаграмма Эйлера — Венна, граф, дерево вариантов);
• составлять алгоритм решения задачи;
• строить отрицания сложных высказываний и использовать метод «от
противного» для доказательства вспомогательных утверждений;
• находить «узкие места» задачи и использовать их при конструировании
примеров;
• применять метод перебора;
• строить логические рассуждения в устной и письменной форме;
• формулировать и доказывать необходимые вспомогательные свойства
(леммы);
• преодолевать кажущиеся противоречия, связанные с недостаточным
анализом условия задачи;
• проверять ответ (пример) на соответствие всем условиям задачи;
• проверять ход доказательства на отсутствие противоречий и
необоснованных выводов;
• фиксировать противоречия в ходе перебора случаев и делать выводы об их
невозможности;
• формулировать в письменном виде полный текст решения задачи.
1. Содержание.
Цель: создать для каждого учащегося 5-6 классов общеобразовательной
школы возможность качественной олимпиадной подготовки по математике
посредством вовлечения в самостоятельную математическую деятельность,
развития мышления, мотивации, освоения методов и формирования
системного опыта решения олимпиадных математических задач.
Задачи:
1) создать творческую, доброжелательную, безопасную (с позиций права на
ошибку) образовательную среду, ориентированную на поддержку успеха
каждого ученика относительно себя;
2) вовлечь учащихся на основе системно-деятельностного подхода (система
«Учусь учиться») в математическую деятельность, создать возможность
самостоятельного открытия ключевых методов и приемов решения
математических олимпиадных задач, тренировать умение их применять;
3) снять у детей неуверенность и страх при решении нестандартных задач,
создать возможность для каждого ученика системно переживать ситуацию
успеха, радость победы, получать удовольствие от интеллектуальной
математической деятельности;
4) сформировать у школьников умение решать нестандартные задачи на
основе метода рефлексивной самоорганизации;
5) тренировать мыслительные операции, навыки парной и
групповой работы, коммуникативные умения в позициях «автора»,
«понимающего», «критика», «организатора»;
6) создать качественное содержание олимпиадной подготовки по математике,
связанное как с содержанием школьного курса математики (за основу взят
курс математики «Учусь учиться»), так и с содержанием школьных
математических олимпиад разных уровней (вплоть до Всероссийской
олимпиады школьников).
Содержание курса также структурировано в 21 тематическую линию,
которые преемственно продолжают содержание подготовительного этапа
курса начальной школы и создают базу для его развития на практическом
этапе в 7–9 классах:
•
•
•
•
•
•
•
арифметика;
геометрия;
алгебра;
теория чисел;
логика;
комбинаторика и теория множеств;
комбинаторная геометрия.
2. Тематическое планирование.
Форма занятия – ролевая игра, практическое занятие, лабораторная
работа, математическая игра.
5 класс
№
Тема занятия
Кол-во Основные олимпиадные идеи
часов
1
Можно или нельзя? 1
2
Анализ с конца
1
3
Пентамино
1
4
Логичный перебор 1
5
Игра
6
Переверни и сложи 1
Метод разбиения чисел на пары, вычисление
количества и суммы чисел в указанном
диапазоне, эффект «плюс-минус один»
7
Паркеты
1
Конструирование в геометрических задачах,
замощение плоскости равными фигурами,
представления о невыпуклых фигурах
8
Угадай, что я
задумал
1
Составление алгоритмов угадывания,
формирование представлений об
оптимальном алгоритме
9
От чисел — к
буквам
1
Введение переменной в текстовых задачах
как метод нахождения всех решений,
сравнение с методом перебора
10
Игра
1
Повторение тем занятий
1
Конструирование и доказательство как
способы ответа на вопрос
«Можно ли?»
Анализ «с конца» как альтернатива
введению переменной при решении
текстовых задач, использование метода
«анализа с конца»
в задачах на доказательство
Принцип «узких мест» в геометрических
задачах, соображения симметрии, метод
перебора в задачах на разрезание и
составление фигур
Полный перебор в логических задачах, выбор
удобного инструмента перебора,
высказывания о всеобщности и
существовании в логических задачах
Повторение тем занятий
Делимость и
1
признаки
Загадка Шахерезады 1
Свойства и признаки делимости, задачи на
оценку и пример
Разложение на простые множители, задачи на
доказательство, использующие разложение на
простые множители
13
Необычные
площади
Перекраивание фигур для удобства
вычисления площади на клетчатой бумаге
14
Отрезки на прямой 1
Критерий расположения трех точек на
прямой, конструирование в геометрических
задачах
15
Игра
1
Повторение тем занятий
16
Перекраивание
фигур
1
17
Схема помогает!
1
Решение задач на тему «разрежь и составь».
Метод анализа «с конца» при решении задач
на разрезание. Равносоставленные фигуры.
Введение вспомогательной сетки при
решении задач на разрезание.
Нестандартные задачи на движение,
использование вспомогательного чертежа при
решении задач на движение
18
Сколько нужно
1
взять?
Круги Эйлера.
1
Метод дополнения
Оценка и пример в задачах о случайном
выборе предметов
Дополнение подмножества, использование
метода косвенного подсчета (дополнения)
при решении комбинаторных задач
20
21
Игра
Конструкции с
дробями
1
1
Повторение тем занятий
Конструкции в задачах с дробями, числовые
ребусы с дробями, использование свойств и
признаков делимости при конструировании
22
Числовые оценки
1
23
Признаки делимости 1
и остатки
24
Шахматная
раскраска
1
25
Семь раз отмерь
1
Сведение задачи к неравенству, задачи на
оценку и пример
Определение остатка числа при делении с
помощью признака делимости, арифметика
остатков
Шахматная раскраска досок, ее
использование для оценок и доказательств.
Обобщение шахматной раскраски на другие
объекты
Предварительный анализ в задачах на
разрезание, метод «малых случаев», метод
«подсчета двумя способами»
11
12
19
1
26
Игра
1
Повторение тем занятий
27
1
28
Правила суммы и
произведения
Развертки куба.
Виды объемных
фигур
1
Дерево вариантов, комбинаторные правила
суммы и произведения
Различные развертки куба, три вида
объемной фигуры и восстановление фигуры
по ее видам
29
Соответствие
1
Метод взаимно-однозначного соответствия
(разбиение на пары и группы)
30
1
Симметричная стратегия в играх,
доказательство стратегии
31
Игры.
Симметричная
стратегия
Увидеть граф
1
Граф как модель представления информации,
графы шахматных фигур, двудольный граф
32
Игра
1
Повторение тем занятий
33
Подведение итогов 1
года
Резерв
1
34
Представление «любимых» задач по всем
темам
Повторение
ИТОГО: 34 часа
6 класс
№
Тема занятия
1
Метод «от
противного»
Десятичная запись
2
3
Отрицания
высказываний
4
Игра
Кол-во Основные олимпиадные идеи
часов
2
Использование метода «от противного» при
решении задач
2
Использование представления в виде суммы
разрядных слагаемых с переменными (a + 10b
+ 100c + … ) при решении задач. Сведение
задачи к простейшим уравнениям в цифрах с
дальнейшим перебором вариантов,
использованием свойств делимости.
Применение десятичной записи при решении
буквенных ребусов
2
Отрицания высказываний с логическими
связками, использование отрицаний при
решении логических задач (про рыцарей и
лжецов), метода перебора
2
Повторение тем занятий
5
Последовательное
конструирование
2
6
Среднее
арифметическое
2
7
Игры на опережение 2
8
Круги Эйлера.
Оценки
2
9
10
Игра
Другие признаки
делимости
2
2
11
Шахматная
раскраска (доски)
2
12
Принцип Дирихле
2
13
Пропорциональност 2
ь
14
15
Игра
Сравнение чисел
2
2
Решение задач на конструирование путем
рассмотрения более простых задач и
дальнейшего обобщения на исходную задачу.
Бесконечные процессы. Метод «добавь по
одному». Идея разбиения процесса на
последовательность этапов, на каждом из
которых изменяются свойства только одного
элемента
Использование среднего арифметического и
его свойств при решении задач
Развитие представления о стратегиях в
математических играх на примере игр на
опережение. Игры, в которых один игрок
может гарантировать себе «ничью»
Задачи с множествами, требующие оценки
наибольшего или наименьшего значения
некоторой величины. Введение переменной в
задачах про множества
Повторение тем занятий
Другие признаки делимости, связанные с
десятичной записью числа (на 7, 11, 13 и др.),
их доказательство
Использование шахматной раскраски досок
для оценок и доказательств. Использование
чередования в доказательствах и подсчетах в
задачах на досках
Формальное введение принципа Дирихле.
Связь с доказательством
«от противного». Задачи на оценку и пример,
использующие в качестве оценки
рассуждения по принципу Дирихле
Использование пропорций при решении
нестандартных текстовых задач. Свойство
суммы и среднего арифметического
пропорционально изменяемых чисел
Повторение тем занятий
Транзитивность неравенств. Использование
промежуточного числа (посредника) для
доказательства числовых неравенств.
Использование нескольких посредников
16
Движение по кругу 2
17
Оценка + пример и 2
признаки делимости
18
Подсчет двумя
способами
2
19
Игра
2
20
Разложение на
2
простые множители
21
Взвешивания
22
Перестановки с
2
повторениями и без
23
Выигрышные
позиции
Игра
Геометрический
принцип Дирихле
24
25
2
2
2
2
Использование чертежей при решении задач
на движение по кругу. Изображение
скоростей движения в условных единицах
(дугах). Движение стрелок часов,
исследование количества их пересечений.
Понятие градусной меры дуги на примере
углов между часовой, минутной, секундной
стрелками
Решение задач на оценку и пример,
связанные с признаками делимости: на
нахождение минимального числа с
указанными свойствами делимости, числа с
наименьшей суммой цифр
Использование метода двойного подсчета в
арифметических задачах. Использование
подсчета двумя способами в доказательствах
«от противного». Задачи с арифметическими
таблицами, геометрические задачи,
использование введения переменной для
дальнейшего двойного подсчета
Повторение тем занятий
Теорема о простом делителе. Следствие о
четности степеней вхождения простых
множителей в каноническое разложение
точного квадрата
Составление алгоритмов определения
фальшивых монет с помощью взвешиваний.
Прямая и косвенная информация. Понятие о
количестве информации. Доказательство
невозможности построения алгоритма при
недостаточном количестве взвешиваний.
Задачи на испытания с другими сюжетами
Перестановки без повторений и с
повторениями на примере анаграмм слова.
Вывод формулы для числа перестановок из
правила произведения. Факториал и его
свойства. Перестановки с повторениями.
Вывод формулы
Выигрышные позиции как метод
конструирования стратегии
Повторение тем занятий
Использование принципа Дирихле в
геометрических задачах
26
Остатки и их
свойства
2
27
Конструкции с
отрицательными
числами
2
28
Графы. Подсчет
ребер
2
29
Игра
2
30
Развертки
многогранников
2
31
Неравенство
треугольника
2
32
Конструкции с
невыпуклыми
фигурами
2
33
34
Подведение итогов 2
Резерв
2
Остатки от деления целых чисел на
натуральные. Общий вид числа с
определенным остатком при делении на
число. Арифметические свойства остатков.
Задачи на остатки с доказательством по
принципу Дирихле. Зацикливание остатков
степеней
Использование отрицательных чисел в
конструкциях как метод устранения мнимых
противоречий. Зависимость знака
произведения от количества отрицательных
знаков у множителей. Задачи на оценку и
пример, связанные с отрицательными
числами. Использование отрицательных
чисел в задачах с числовыми оценками
Интерпретация задач в терминах теории
графов. Подсчет количества ребер в графе.
Лемма о рукопожатиях. Свойство четности
количества вершин нечетной степени. Лемма
о хороводах
Повторение тем занятий
Изображение многогранников по заданному
количеству вершин, ребер и граней (тетраэдр,
пирамида, октаэдр, усеченная пирамида).
Развертки многогранников. Оклеивание
объемных фигур. Пути на поверхности
объемных фигур
До26казательство неравенства треугольника
с использованием построений. Оценка суммы
длин диагоналей четырехугольника через его
периметр. Арифметические задачи,
связанные с неравенством треугольника
Невыпуклые фигуры как средство
преодоления мнимых противоречий. Задачи о
пересечении фигур. Невыпуклые
многоугольники
Представление «любимых» задач
Повторение
ИТОГО: 68 часов
